Temel olarak 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e = 1 eşitliğinin çözmenin birçok farklı yöntemi var. İlk önce sayıların birbirine eşit olduğunu varsayarsak toplam 5 tane kesirli sayı olduğu için ve toplamları 1 olduğu için hepsinin 5 olduğunu düşünebiliriz:
1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 1
Hepsi birbirine eşit olmasa da bazılarının birbirine eşit olabildiğini var sayarsak 1 i direk 5 bölerek değil de ilk önce 2 ye, sonra parçaları da kendi içlerinde bölerek başka sonuçlara ulaşabiliriz. Bu geometrik bir yaklaşım olduğu için aslında süreci sezgisel olarak anlamak için fazlasıyla yararlı:
1 = 1/2 + 1/2 = (1/4 + 1/4) + (1/6 + 1/6 + 1/6)
1 = 1/2 + 1/2 = (1/4 + 1/4) + (1/4 + 1/4) = (1/4 + 1/4) + (1/4 + 1/8 + 1/8)
1 = 1/2 + 1/2 = 1/2 + (1/3 + 1/6) = 1/2 + (1/3 + 1/12 + 1/18 + 1/36)
1 = 1/2 + 1/2 = 1/2 + (1/3 + 1/6) = 1/2 + (1/6 + 1/6 + 1/12 + 1/12)
1 = 1/3 + 2/3 = 1/3 + (1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6)
Tabii ki bu yöntemle onlarca sonuca ulaşabiliriz. Ancak aynı yöntemi ve ilk gösterdiğim 1/5 lik kesirleri göz önünde bulundurursak, eğer sayılardan bir tanesi 5 ten küçük olursa başka bir tanesinin 5 ten büyük olması gerektiğini çıkartabiliriz. Örnek olarak bölme işlemini sürekli ilerletip ile şuna ulaşabiliriz:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = 1
1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 1
1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/16 + 1/48 = 1
Sayılardan bir tanesini 5 olarak bırakırsak, 4/5 lik bir parçaya ulaşmamız gerekir. Bu sayıya ulaşmak için az önce bahsettiğim azaltmayı yapıp 3 tanesini 4 e eşitleyelim:
1/a + 1/5 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Paydalarını eşitlersek toplamın 1/a + 19/20 ettiğini görürüz 3 ünü 1 azalttığımız zaman dediğim gibi son kalanın da 5 ten büyük olması gerekiyor ve bu işlemde 20 olduğunu görebiliriz:
1/20 + 1/5 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Bu bize gösteriyor ki, sayılardan bazılarını az da olsa küçülttükçe, bazılarını fazlasıyla büyültmemiz gerekiyor. Bunun sebebi tabii ki küçültmenin rasyonel sayı manasında fazlasıyla büyütmek demek olması:
1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/45 + 1/630 = 1
1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/44 + 1/924 = 1
1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806 = 1
Görüldüğü üzere eşitliklerde sondan bir önceki öğeyi bir azaltmam, son öğenin fazlasıyla büyümesine sebep oluyor. Bu eşitlik üstüne tamamen kesirli sayıları hesaplamanın ve üstlerinde oynamanın eğlenceli olması yüzünden değindim.