Tüm eğitim hayatınız boyunca sayıları ve aralarındaki işlemleri gerçekleştirerek geçiyor çoğunlukla günlerimiz. Dört işlem dışında çoğu kişi öğrendiği matematik terimlerini unutsa da asal sayıların ne olacağının unutulacağını sanmıyorum. Bu yüzden biraz tersten gideceğim; bir sayıya, kendinden farklı iki sayıyı çarparak ulaşabiliyorsak, yani sayının iki farklı çarpanı var ise buna bileşik (composite) sayı deniyor. Bildiğimiz kadarıyla sayıların büyük bir kısmı bu kümeye giriyor. Eğer bir sayının birden (ve tabii ki kendinden) başka çarpanı yok ise bu sayıya asal (prime) sayı deniyor.
Asal sayıları bulmanın henüz keşfedilmiş bir yolu yok, bunları tek tek bulmak gerekiyor çünkü bir sayının asal olup olmadığını kontrol edebilsek de belli bir basamak sayısını geçtikten sonra bu test de çok zaman almaya başlıyor. Ancak bildiğim kadarıyla en son 17 milyon basamaklı asal bir sayıyı bulan Amerikalı bir profesör vardı. Tabii ki o da bunu elle değil işlem yapması haftalar süren bir programla başarmıştı. Hatta bu asal sayı da az bulunan asal sayı tiplerinden biriydi. Bu da beni diğer konuma getiriyor; asal sayı tipleri nelerdir? En azından bir kısmı:
^ işare üzeri anlamına gelir, yani 2^n, 2 üzeri n demek gibi. Ayrıca iki asal sayının çarpımı olan ama kendi asal olmayan sayılara yarı asal (semiprime) denir.
Fermat Asalı (Fermat Primes):
Fermat sayılarının asal olanlarına verilen ad. Fermat sayılar ise "n = 2^m" olacak şekilde, "2^n + 1" ifadesi ile tanımlanır. (1 artı 2 üzeri 2 üzeri m)
Örnek (Tüm Bilinenler): 3, 5, 17, 257, 65.537
Mersenne Asalları (Mersenne Primes):
İsmi fransız matematikçi Marin Mersenne den gelen asal sayılar. "n" sayısının asal olduğu "2^n - 1" ifadesi ile tanımlanır. "n" sayısının asal olduğu her bu tarz ifade asal olmayabilir ve o zaman bu kümeye girmez. Ayrıca "n" bileşik sayı ise bu ifade asal olamaz. Örnek: 3, 7, 31, 127, 8791, 131071
Çifte Mersenne Asalları (Double Mersenne Primes):
"2^n - 1" ifadesinde kullanılan ve asal olan "n" sayısının kendisi bir Mersenne sayısı ise, bu şekilde bulunan sayılara Çifte Mersenne diyebiliriz.
Örnek (Tüm Bilinenler): 7, 127, 2.147.483.647, 170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727
İkiz Asallar (Twin Primes):
Aralarında 2 sayı fark bulunan asal sayılar.
Örnek: 3 ve 5, 5 ve 7, 11 ve 13, 17 ve 19
Kuzen Asallar (Cousin Primes):
Aralarında 3 sayı fark bulunan asal sayılar.
Örnek: 7 ve 11, 19 ve 23
Altılık Asallar (Sexy Primes):
Aralarında 6 sayı fark bulunan asallar.
Örnek: 5 ve 11, 23 ve 29
Dengeli Asallar (Balanced Primes):
Kendinden önceki ve sonraki asal sayıya eşit mesafede olan asıl sayılara verilen addır. Yani ardarda olan 3 asal sayıyı alalım. Birinci ve üçüncüyü toplayıp ikiye bölünce ikinci olan asıl sayıya ulaşıyosak ona dengeli asal diyoruz. (3+7) / 2 = 5 olduğu gibi.
Örnek: 5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653
Toplamsal Asallar (Additive Primes):
Bir asal sayının basamaklarındaki rakamları tek tek alıp birbirleriyle toplayıp bir asal sayıya ulaşıyosak ona toplamsal, toplanır asal diyebilir. Yani ben öyle türkçeleştirdim. 29 asal bir sayı 2 + 9 = 11 de asal bir sayı gibi.
Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89, 101, 113, 131
Tek Asallar (Odd Primes):
"2^n - 1" ifadesi ise ulaşılabilen tüm asallar. 2 dışındaki tüm asallar tek sayıdır.
Örnek: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
Değiştirilebilir Asallar (Permutable Primes):
Bir asal sayının basamaklarındaki sayıların yerlerini istediğiniz şekilde değiştirdiğinizde hala bir asal sayıya ulaşıyorsanız, baya tatlı bir sayı olmakla birlikte ona değiştirilebilir asal sayı diyebilirsiniz. Daireselden farklı olarak sayıların sırası da değişir yani dairesel asal sayıların bir alt kümesidir.
Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373
Dairesel Asallar (Circular Primes):
Bir asal sayıyı alıp ilk basamağındaki rakamı alıp son basamağına koyarak yeni bir asal sayıya ulaşıyosanız ve o asal sayıya da bunu yapayarak yine bir asal sayıya ulaşıyorsanız, bunu ne kadar yapsanız da bir asal sayıya ulaşıyorsanız, o sayı bu kümeye girer. Teknik olarak dairesel manada sayıların sırası değişmez bu anlamda tüm değiştirilebilir asallar dairesel asal değildir.
Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 197, 199, 311, 337, 373, 719, 733, 919, 971, 991
Faktöriyel Asallar (Factorial Primes):
Herhangi bir faktöriyel sayısından 1 az ya da 1 fazla olan asal sayılardır. "n! -/+ 1" olarak tanımlayabiliriz.
Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23, 719
Carol Asalları (Carol Primes):
"(2^n−1)^2 − 2" şeklinde ifade edilen sayılar Carol sayılarıdır. Bu bağlamda başka birçok özellikleri olsa da bu sayılar bir asal sayıyı verdiğinde Carol Asalı diyoruz. Mersenne sayısının karesinin 2 eksiği diye de düşünebilirsiniz.
Örnek: 7, 47, 223, 3967
Chen Asalları (Chen Primes):
Bir asal sayının 2 fazlası asal ya da yarı asal ise bu kümeye girer.
Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59
Emirps (Reversible Primes):
Sondan başa yazıldığında yine asal olan asal sayılardır. Palindromikler gibi değil zira burada başka bir sayıya ulaşılıyor.
Örnek: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, 311, 701, 751, 941
Palindromik Asallar (Palindromic Asallar):
Simetrik olarak tersten yazıldığında yine asal olan sayılardır.
Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313
Fibonacci Asalları (Fibonacci Primes):
Fibonacci dizisi içinde yer alan asal sayılar.
Örnek: 2, 3, 5, 13, 89, 233,
Tabii ki bu tüm liste değil, ben içlerinden bir bazılarını yazdım. Wikipedia dan tüm listeye ulaşabilirsiniz: Lists of primes by type